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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27035 - Fourier Analysis


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27035 - Fourier Analysis
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
Second semester
Subject type:
Optional
Module:
---

1. General information

This is an elective course within the degree of Mathematics program. Its objective is to introduce the student to the fundamentals of Fourier analysis.

The expression of a periodic function as a Fourier series allows us to study its properties from that of its coefficients. We will analyze the equality function=series with techniques similar to other series expansions learned in the degree. We will study from the functional point of view the Fourier transform and some of its applications (uncertainty principle). Finally, the discretization of the procedures will allow us to use a computer to remove noise or correct drawings, in short, to use filters on signals.

It is necessary to have passed the subjects Mathematical Analysis I, Mathematical Analysis II, Complex Variable and Lebesgue Integral. It is recommended to have passed Functional Analysis. The course requires a good knowledge of the Lebesgue integral and the L1 and L2 spaces.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • Know that a periodic function is determined by its Fourier coefficients and understand some convergence results of Fourier series.
  • Know how the Fourier coefficients can be obtained by the discrete Fourier transform, and use the basics of the fast Fourier transform.
  • Adapt the theory to non-periodic functions with the Fourier transform and understand some inversion results.

3. Syllabus

  1. Historical, physical and mathematical introduction. The vibrating string and the wave equation: D'Alembert, Euler, and Bernoulli. The heat transmission and its equation: Fourier. The concept of function: measure theory and functional analysis. The electromagnetic waves.
  2. Preliminary mathematics. Banach spaces of continuous, differentiable, and integrable functions. Convergence of sequences and series of functions. Periodic functions, the torus and a little bit of complex analysis.
  3. Fourier series. Formal Fourier sine, cosine and exponential series. Statement of the problem of the convergence of Fourier series: convolution, kernels, the unit circle, and its relation with complex analysis and the involved spaces. Pointwise, uniform and mean convergence results: summabilities of Fourier series. Riemann-Lebesgue lemma. Dirichlet's theorem and the Gibbs phenomenon. Riemann's localization principle. Exploiting the orthogonality: Hilbert spaces and Plancherel's theorem.
  4. Discrete Fourier transform. Periodic sequences. The discrete transform and its inverse. Sampling and interpolation. Approximate calculus of Fourier coefficients. The FFT algorithm and its use in computer programs (Python).
  5. Fourier transform. The continuous analog of Fourier series. Continuous frequencies. The Schwartz class of functions. Poisson and Gauss-Weierstrass kernels. The inversion formula. Fourier transform and L2 theory. Band limited functions. The uncertainty principle.

4. Academic activities

Master classes: 30 hours.
Problem solving: 20 hours.
Computer classes: 10 hours.
Study: 83 hours.
Assessment tests: 7 hours.

5. Assessment system

As a general rule, the module can be passed either showing a regular work along the academic year, or by a final exam.

  • Regular work. During the course, the student results will be evaluated through a periodical supply of exercises or short tasks, together with their active participation during the course. The use of LaTeX in written presentations is recommended; the evaluation can also include oral presentations. These evaluations will constitute 100% of the final mark.
  • Final exam. The aforementioned procedure does not exclude the right, according to the current regulations, to a final exam which, by itself, allows to pass the module.


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27035 - Análisis de Fourier


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27035 - Análisis de Fourier
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

Se trata de una asignatura de formación optativa dentro del grado. Su objetivo es presentar al estudiante los fundamentos del análisis de Fourier.

La expresión de una función periódica como serie de Fourier permite estudiar sus propiedades a partir de la de sus coeficientes. Analizaremos la igualdad función=serie con técnicas similares a otros desarrollos en serie aprendidos en el grado. Estudiaremos desde el punto de vista funcional la transformada de Fourier y algunas de sus aplicaciones (principio de incertidumbre). Finalmente, la discretización de los procedimientos nos permitirá el uso de ordenador para quitar ruidos o corregir dibujos, en definitiva usar filtros sobre señales.

Es necesario haber superado las asignaturas Análisis matemático I, Análisis matemático II y Variable compleja e Integral de Lebesgue. Es recomendable haber superado Análisis Funcional. La asignatura requiere manejar bien la integral de Lebesgue y los espacios L1 y L2.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Conocer que una función periódica queda representada por sus coeficientes de Fourier y comprender algunos resultados de convergencia de la serie de Fourier.
  • Hallar coeficientes de Fourier mediante la transformada de Fourier discreta y usar el algoritmo de la transformada rápida de Fourier.
  • Adaptar la teoría a funciones no periódicas con la transformada de Fourier y comprender resultados de reconstrucción de una función a partir de su transformada.

3. Programa de la asignatura

  1. Introducción histórica, física y matemática. La cuerda vibrante y la ecuación de ondas: D'Alembert, Euler y Bernoulli. La transmisión del calor y su ecuación: Fourier. El concepto de función: la teoría de la medida y el Análisis Funcional. Las ondas electromagnéticas.
  2. Matemáticas preliminares. Espacios de Banach de funciones continuas, derivables e integrables. Convergencia de sucesiones y series de funciones. Funciones periódicas, el toro y un poco de variable compleja.
  3. Series de Fourier. Series formales de Fourier de senos, cosenos y exponenciales. Planteamiento del problema de la convergencia de la serie de Fourier: convolución, núcleos, la circunferencia unidad y la relación con la variable compleja y espacios intervinientes. Resultados de convergencia puntual, uniforme y en media: sumabilidades de la serie de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue. Teorema de Dirichlet y fenómeno de Gibbs. Principio de localización de Riemann. Explotando la ortogonalidad: espacios de Hilbert y teorema de Plancherel.
  4. Transformada de Fourier discreta. Sucesiones periódicas. La transformada discreta y su inversa. Muestreo e interpolación. Cálculo aproximado de coeficientes de Fourier. El algoritmo FFT y su uso en programas informáticos (Python).
  5. Transformada de Fourier. El análogo continuo de las series de Fourier. Frecuencias continuas. Funciones de la clase de Schwartz. Núcleos de Poisson y Gauss-Weierstrass. Fórmula de inversión. Transformada de Fourier y teoría L2. Funciones de banda limitada. Principio de incertidumbre.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 30 horas.
Resolución de problemas y casos: 20 horas.
Prácticas informatizadas: 10 horas.
Estudio: 83 horas.
Pruebas de evaluación: 7 horas.

5. Sistema de evaluación

Como regla general, la asignatura se puede aprobar o bien demostrando un trabajo continuado durante el curso, o bien mediante un examen final.

  • Trabajo continuado. Durante el curso se evaluará el rendimiento del estudiante mediante la propuesta y posterior evaluación de ejercicios o trabajos breves con contenido: teoría, problemas, problemas teóricos, programación en Python. Se recomendará el uso de LaTeX en las presentaciones escritas. Así mismo, la evaluación podrá incluir presentaciones orales. Estas evaluaciones supondrán el 100% de la nota de la asignatura.
  • Examen final. Lo anterior debe entenderse sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.